Vektorgeometrie

Ein Fluglotse stellt die Flugbahn eines Flugzeugs mit dem Computer graphisch dar. Dabei muss er alle Punkte der Flugbahn, die wir uns vereinfacht als gerade Linie denken, erfassen können. Peter und Hugo überlegen sich, wie man diese Gerade im Raum mit Hilfe einer Gleichung beschreiben kann.

Hugo hat folgende Idee: Wenn die Punkte (x,y) der Funktionsgleichung y = f (x) = m · x + q eine Gerade in der Ebene beschreiben, dann müssten die Punkte ( x,y,z ) , welche die erweiterte Gleichung z = f (x,y)= m · x + n · y + q erfüllen, Punkte entlang einer Geraden im Raum beschreiben. Hat Hugo recht damit?

Überlegen Sie sich dabei, was in einem Koordinatensystem passiert, wenn beliebige Punkte (x,y)  des „Bodens“ im Koordinatensystem in die Funktion  f (x,y)  =  m · x + n · y + q  eingesetzt werden, um die zugehörige z- Koordinate zu berechnen. Entstehen dabei wirklich nur Punkte entlang einer Geraden? Begründen Sie Ihre Vermutung.

Ziel dieser Einstiegsaufgabe ist es, dass die Lernenden an ihr Vorwissen anknüpfen können, hier: Geradengleichungen in der Ebene. Zudem soll aufgezeigt werden, dass ihre Vorgehensweise im Raum nicht mehr funktioniert, also nicht auf eine Gerade im Raum, sondern auf eine ganze Ebene führen wird. Auf diese Weise sollen die Lernenden dazu motiviert werden, gleich zwei neue Konzepte kennenzulernen, nämlich wie man Ebenen im Raum darstellen kann, und wie man Vektoren auf verblüffende Art und Weise einsetzen kann, um Geraden im Raum zu beschreiben.