Lohse-Quadrate und Lohse-Gruppen

Als die vier Zürcher Konkreten gelten die Künstler Max Bill, Richard Paul Lohse, Verena Loewensberg und Camille Graeser. Der Begriff „konkret“ bedeutet dabei, dass das Kunstwerk nicht aus der Natur abstrahiert, sondern ein Gegenstand zum geistigen Gebrauch ist, eine autonome Realität aus Farben und Formen. Es liegt nahe, dass solche Werke Bezüge zur Mathematik aufweisen.

Richard Paul Lohse (1902-1988) vereinheitlichte seit 1943 seine Bildstrukturen. Er nannte sie modulare und serielle Ordnungen. Mathematisch gesehen sind es lateinische Quadrate, deren Grundmengen Farbquadrate beinhalten. Es besteht ein gewisser Kontrast zwischen der mathematischen Strenge und der sinnlich-kräftigen Farbgebung von Lohses Kompositionen.

Lateinische Quadrate findet man insbesondere in der Gruppentheorie vor: Jede Gruppentafel (Cayley-Tafel) einer endlichen Gruppe ist ein lateinisches Quadrat. Ein Lohse-Quadrat ist ein lateinisches Quadrat mit der Zusatzbedingung, dass gleiche Elemente (Farben) sich auch diagonal nicht treffen dürfen. Eine endliche Gruppe G heisst Lohse-Gruppe, falls es zu G eine Cayley-Tafel gibt, welche ein Lohse-Quadrat ist.

Die vorliegende Arbeit verbindet auf attraktive Weise den künstlerischen Gehalt des Themas mit Gruppen- und Graphentheorie. Das theoretische Hauptresultat der Arbeit ist eine Charakterisierung der Lohse-Gruppen: Alle endliche Gruppen, mit Ausnahme der Quaternionengruppe Q₈ und der Gruppen mit Ordnung 2, 3 oder 4, sind Lohse-Gruppen. Dieses Resultat war bekannt. Der in dieser Arbeit geführte Beweis ist jedoch wesentlich kürzer als der originale Beweis von David Meier aus dem Jahr 2006. Der Autor verwendet dabei neuere Resultate aus der Graphentheorie, insbesondere solche über Hamiltonsche Wege. Daneben enthält die Arbeit fiktive Dialoge des Künstlers mit einem Mathematiker sowie bildliche Realisierungen der Gruppen mit Ordnung 6, der Diedergruppe D₈ (Lohse-Quadrat der Ordnung 8) und der alternierenden Gruppe A₄ (Lohse-Quadrat der Ordnung 12).

• Grundkenntnisse in Algebra, Vertrautheit mit dem Gruppenbegriff