Komplexe Zahlen (Lehrtext)

Das vorliegende Skript bietet eine Einführung in die komplexen Zahlen für Schülerinnen und Schüler mit einem besonderen Interesse an Mathematik. Sein inhaltlich modularer Aufbau erlaubt einen flexiblen Einsatz im Unterricht. Der klar strukturierte Lehrtext und die detaillierten Lösungen zu allen Aufgaben ermöglichen den Schülerinnen und Schülern ein hohes Mass an eigenständigem Arbeiten - etwa bei einem Unterricht nach dem "flipped classroom"-Konzept.Das Skript ist jedoch nicht dafür konzipiert, als Grundlage einer SOL-Einheit ohne Begleitung durch Lehrpersonen eingesetzt zu werden.

Zum grundlegenden Inhalt: Kapitel 1 motiviert die Einführung der komplexen Zahlen und weckt das Bewusstsein für mögliche algebraische Probleme bei der Erweiterung von Zahlenmengen. In Kapitel 2 werden die Grundrechenarten für die komplexen Zahlen in Normalform etabliert. In Kapitel 3 legt die geometrische Interpretation der komplexen Multiplikation nahe, komplexe Zahlen alternativ zur Normalform auch in Polarform darzustellen.

Diese Grundlagen lassen sich durch die Kapitel 4 und 5 erweitern: Die Darstellung komplexer Zahlen in Polarform ermöglicht es in Kapitel 4, auf einfache Weise zu radizieren - das heisst, Potenzgleichungen zu lösen. Mit der Lösbarkeit allgemeiner polynomialer Gleichungen beschäftigt sich anschliessend Kapitel 5. Nach der komplexen quadratischen Lösungsformel leitet dort eine Beweisskizze für den Fundamentalsatz der Algebra zur Faktorisierung komplexer Polynome über.

Das gleichfalls nur auf den Kapiteln 1 bis 3 aufbauende Kapitel 6* bietet abschliessend ein optionales Anwendungsbeispiel: Es zeigt, wie sich gleichfrequente Grössen mit Hilfe komplexer Zeiger einfach addieren lassen. Zusammen mit einem kurzen Überblick über die physikalischen Grundlagen ermöglicht dies den Schülerinnen und Schülern, sich an der Berechnung einfacher Wechselstromkreise selbst zu versuchen.

Der inhaltliche Bogen von Kapitel 1 bis Kapitel 3 benötigt etwa 8 bis 12 Lektionen. Für die Kapitel 4 und 5 sollte man jeweils rund 4 bis 6 Lektionen veranschlagen. Für das optionale Kapitel 6* sind je nach physikalischem Vorwissen etwa 4-8 Lektionen erforderlich.

Das Skript setzt generell nur die typischen Vorkenntnisse der Prä-Analysis voraus - wie zum Beispiel die quadratische Lösungformel, die reellen Potenzgesetze, die trigonometrischen Funktionen, die Euler'sche Zahl e und die natürliche Exponentialfunktion. Für die Faktorisierung komplexer Polynome in Kapitel 5 sind Vorkenntnisse der reellen Polynomdivision hilfreich. Für die Anwendung komplexer Zeiger auf die Berechnung einfacher Wechselstromkreise im optionalen Kapitel 6* sollten mindestens die Ohm'schen Gesetze der Gleichstromrechnung bekannt sein. Idealerweise verfügen die Schülerinnen und Schüler für diesen Teil von Kapitel 6* über Grundkenntnisse im Umgang mit Wechselstrom. Hier bietet sich eine gezielte Abstimmung mit dem Physikunterricht an.