Auffrischungskurs zu den Grundkonzepten der Differential- und Integralrechnung
Kursleitung: Dr. Yannis Bähni
Termin: Montag bis Donnerstag, 01. – 04. September 2025, jeweils von 14 – 16 Uhr
Veranstaltungsort: CAB-Gebäude der ETH Zürich, Universitätstrasse 6, Raum G 11.
Zielgruppe: Studieneinsteigende in MINT-Fächern (Mathematik, Informatik, Naturwissenschaften und Technik)
Anmeldung: externe Seite zum Anmeldeformular
Anmeldeschluss ist zwei Tage vor Kursbeginn.
Ein gutes Verständnis der Infinitesimalrechnung, insbesondere der Differential- und Integralrechnung, ist eine zentrale Voraussetzung, um die Anwendungen der Mathematik im Studium eines MINT-Faches zu verstehen. In diesem Kurs können Studieneinsteigende vor Semesterbeginn ihre Kenntnisse in diesen Bereichen auffrischen und vertiefen. Dabei kommen besonders lernwirksame Unterrichtsmaterialien zum Einsatz, deren Wirksamkeit in empirischen Vergleichsstudien gezeigt wurde. Um eine hohe Unterrichtsqualität zu gewährleisten, wird dieser Kurs mit einem Vor- und Nachtest wissenschaftlich begleitet. Somit können die Teilnehmenden ihren individuellen Lernfortschritt sehen.
Der Kurs umfasst die drei Themenbereiche:
Können Sie die folgenden Fragen beantworten und Ihre Antworten begründen?
Im Internet lesen Sie: Seit Dezember 2017 fährt die steilste Standseilbahn der Welt von Schwyz mitten ins Bergdorf Stoos. Die Standseilbahn überwindet eine maximale Steigung von 110% = 47.7 Grad und ist somit die steilste Standseilbahn der Welt. Dies ist ein Weltrekord! Können Sie erklären, was der Begriff «maximale Steigung» und die Angabe 110% = 47.7 Grad bedeuten?
Können Sie erklären, wieso Sie eine Positionsfunktion ableiten müssen, um die dazugehörige Geschwindigkeitsfunktion zu erhalten, und umgekehrt, dass Sie eine Geschwindigkeitsfunktion integrieren müssen, um eine dazugehörige Positionsfunktion zu erhalten?
Kann jede Funktion an einem beliebigen Punkt im Definitionsbereich abgeleitet werden? Besitzt jede Funktion eine Stammfunktion, welche durch elementare Funktionen (Polynome, Exponential- und Logarithmusfunktionen, trigonometrische Funktionen) ausgedrückt werden kann?
Kann jede zusammengesetzte differenzierbare Funktion einfach mit Hilfe der Ableitungsregeln abgeleitet werden? Gilt dasselbe auch für das Auffinden von Stammfunktionen einer integrierbaren Funktion und den Integrationsregeln?
Dynamische Prozesse in MINT-Fächern wie chemische, biologische oder physikalische Prozesse werden überwiegend mit Differentialgleichungen beschrieben. Bekannte Differentialgleichungen tauchen in der Modellierung von natürlichen Phänomenen auf, wie zum Beispiel dem radioaktive Zerfallsgesetz, wobei man den Zerfall von einem radioaktiven Präparat beschreibt, oder dem Populationsmodell von Lotka-Volterra. In der Physik wird jede (klassische) Bewegung durch das zweite Newton’sche Gesetz beschrieben, welche das Produkt aus Beschleunigung und Masse als resultierende Kraft ausdrückt. Die Beschleunigung gibt die Veränderungsrate der Geschwindigkeit an, und die Geschwindigkeit ist die Veränderungsrate der Position eines Objektes. Somit führt das zweite Newton’sche Gesetz auf eine Differentialgleichung, wenn man an der Position des Objektes interessiert ist. Ziel dieses Teils des Kurses ist es, das Konzept einer Differentialgleichung zu verstehen, Beispiele kennenzulernen und einfache Lösungsmethoden anwenden zu können.
Die Anfänge der mathematischen Optimierung basieren auf den Methoden der Differentialrechnung und kommen in vielen mathematischen Anwendungen vor. Das bekannteste Beispiel ist, die Regressionsgerade für eine Menge von Datenpunkten zu finden. Ein aktuelles Beispiel ist das Finden von Optimierungsalgorithmen für maschinelles Lernen. In diesem letzten Teil des Kurses werden wir einfache Optimierungsaufgaben besprechen und unser Verständnis der Differentialrechnung vertiefen. Insbesondere werden wir das Verhalten von Funktionsgraphen mit Hilfe von Ableitungen beschreiben.